De acordo com o Teste Crescente/Decrescente, f(x) é crescente nos intervalos em que f'(x) é positiva. Observando o gráfico acima, vemos que f'(x) é positiva (seu gráfico está acima do eixo das abscissas) nos intervalos (2,5) e (6,9).

De acordo com o Teste da Primeira Derivada, f(x) tem um mínimo ou máximo locais nos pontos em que f'(x) muda de sinal. Observando o gráfico acima, vemos que isso ocorre em x = 2, x = 4 e x = 6.

Além disso, em x = 2 e x = 6, f'(x) muda de negativa para positiva. Portanto, pelo Teste da Primeira Derivada, x = 2 e x = 6 são pontos de mínimo locais da função.

Em x = 4 , f'(x) muda de positiva para negativa. Portanto, pelo Teste da Primeira Derivada, x = 4 é o ponto de máximo local da função.

De acordo com o Teste da Concavidade, a função é côncava para cima nos intervalos em que f"(x) é positiva.

Mas como analisar o sinal de f"(x) observando o gráfico de f'(x)?

A resposta é simples. Observe que f"(x) será positiva quando f'(x) for crescente!

Isso é uma aplicação do Teste Crescente/Decrescente para a função derivada.

Assim, observando que f'(x) é crescente nos intervalos (1,3), (5,7) e (8,9), concluímos que a função é côncava para cima nesses intervalos.

Raciocinando da mesma forma, precisamos observar onde f'(x) é decrescente para determinar onde f"(x) é negativa e, portanto, onde f(x) é côncava para baixo. Assim, olhando para o gráfico acima, podemos afirmar que f(x) é côncava para baixo nos intervalos (0,1), (3,5) e (7,8).

Pela definição, sabemos que há pontos de inflexão onde a função muda de concavidade. Portanto, na resposta da pergunta anterior está nossa resposta para essa pergunta: x = 1, x = 3, x = 5, x = 7 e x = 8.